Noțiuni despre divizibilitate

Despre divizibilitatea în N se discută cel mai mult, evident... Câteva cuvinte despre EXTINDEREA divizibilităţii de la N la Z, noţiuni legate de c.m.m.d.c.

Notăm c.m.m.d.c. (a,b) cu (a,b) şi  c.m.m.m.c. (a,b) cu [a,b]

A lucra pe exemple este uneori mai relevant şi uşor de înţeles.
Dacă (6,9) = 3 atunci cine este de exemplu (-6,9) sau (-6,-9) ?...

În cazul divizibilităţii în Z (deci şi cu negative) avem de fapt doi de c.m.m.d.c. Adică putem scrie (-6,9) = 3 dar şi (-6,9) = -3 .
Deci atât 3 cât şi -3 sunt c.m.m.d.c. ai lui -6 şi 9.

Dar cum cel pozitiv este evident mai mare decât negativ se poate scrie (-6,9) = 3, însă asta se face doar pentru simplitate.
(Evit intrarea în amănunte de Algebră superioară, ce se studiază în facultate)


Observaţie : Prin DEFINIŢIE se ia (0,0) = 0

Comentează postarea pe Facebook

Teorema lui Pitagora generalizată

Dintr-un motiv sau altul se fac anumite «confuzii» privitoare la Teorema lui Pitagora generalizată. Sunt 2 aspecte:

- Se consideră că această teoremă este EXACT Teorema cosinusului

- Se dorește folosirea acestei teoreme la clasa a 7-a și a 8-a, chiar sub forma trigonometrică, fără să se țină cont de faptul că trigonometria în cadrul gimnaziului se folosește doar pentru unghiuri ascuțite (cu măsuri strict mai mari decât 0° și strict mai mici decât 90°). Acest fapt poate duce la greșeli...

OBSERVAȚIE - Puteam duce înălțimea din celălalt capăt al laturii date, din B.
Consideram aceasta ca fiind BE (cu E aflat pe dreapta AC - nu neapărat în interiorul segmentului AC) și puteam scrie:

$AB^2=AC^2+BC^2−2⋅AC⋅CE$ dacă C este ascuțit și

$AB^2=AC^2+BC^2+2⋅AC⋅CE$ când C e obtuz.

Problemă de Aritmetică

Aflați numerele prime de forma $\overline{abc}$ știind că:

$a \cdot \overline{bc} = c \cdot \overline{ba} + 10$

Rezolvare

$a \cdot (10b + c) = c \cdot (10b + a) + 10$

$10ab + ac = 10cb + ac + 10 ~~~$

$10b \cdot (a-c) = 10 ~~~$ (împărțim ambii membrii la $10$)

$b \cdot (a-c) = 1$ deci $b=1$ și $a-c = 1$ deci $a=c+1$

Dintre 110, 211, 312, 413, 514, 615, 716, 817, 918 doar 211 e prim.

O altă inegalitate

$a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$

$\iff a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant 0$

$\iff \dfrac12(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)\geqslant 0$

$\iff \dfrac12[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)]\geqslant 0$

$\iff \dfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geqslant 0$

$\iff (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant 0$

...evident avem egalitate când $a = b = c$
(deoarece fiecare din cele 3 paranteze trebuie să fie nule)

Inegalități între fracții

Dintre numerele $0,75$ și $\dfrac{2}{3}$ mai mare este...

$0,75 ~~~ \square ~~~ \dfrac{2}{3}$ ...transformăm în fracții ordinare.

$\dfrac{75}{100} ~~~ \square ~~~ \dfrac{2}{3}$ ... simplificăm prima fracție cu 25.

$\dfrac{3}{4} ~~~ \square ~~~ \dfrac{2}{3}$ ...aducem fracțiile la același numitor.

$\dfrac{9}{12} ~~~ \square ~~~ \dfrac{8}{12}$ ...deci primul număr este mai mare.

Știați că...

Gauss și-a dat seama încă din anul 1800 (la vârsta de 23 de ani) că «Postulatul lui Euclid» (axioma paralelelor) nu poate fi demonstrat, ba mai mult, și-a dat seama că se pot construi geometrii distincte de cea «euclidiană» renunțând la acest postulat privitor la drepte paralele. 

Dat fiind faptul că el nu a publicat niciodată rezultatele sale ele au fost regăsite independent de Lobacevski (1826) și de Bolyai (1832). Geometria creată de ei (în mod independent) se numește geometrie hiperbolică.

În spaţiul tridimensional există trei tipuri de geometrii de curburi constante. La toate sunt valabile primele patru axiome ale lui Euclid, dar la fiecare din acestea, axioma paralelelor se formulează diferit.

Astfel, «geometria plată cotidiană» este o geometrie euclidiană (sau parabolică). 

Geometriile neeuclidiene sunt: geometria hiperbolică (geometrie Bolyai-Lobacevski-Gauss)  și geometria eliptică (geometrie riemanniană - a lui Bernhard Riemann). 

Hello world !

MateInfo.Net - Portal, Forum şi Blog de Matematică şi Informatică.

$\displaystyle \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \binom{n}{k}$