Teorema lui Pitagora generalizată

Dintr-un motiv sau altul se fac anumite «confuzii» privitoare la Teorema lui Pitagora generalizată. Sunt 2 aspecte:

- Se consideră că această teoremă este EXACT Teorema cosinusului

- Se dorește folosirea acestei teoreme la clasa a 7-a și a 8-a, chiar sub forma trigonometrică, fără să se țină cont de faptul că trigonometria în cadrul gimnaziului se folosește doar pentru unghiuri ascuțite (cu măsuri strict mai mari decât 0° și strict mai mici decât 90°). Acest fapt poate duce la greșeli...

OBSERVAȚIE - Puteam duce înălțimea din celălalt capăt al laturii date, din B.
Consideram aceasta ca fiind BE (cu E aflat pe dreapta AC - nu neapărat în interiorul segmentului AC) și puteam scrie:

$AB^2=AC^2+BC^2−2⋅AC⋅CE$ dacă C este ascuțit și

$AB^2=AC^2+BC^2+2⋅AC⋅CE$ când C e obtuz.

O altă inegalitate

$a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$

$\iff a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant 0$

$\iff \dfrac12(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)\geqslant 0$

$\iff \dfrac12[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)]\geqslant 0$

$\iff \dfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geqslant 0$

$\iff (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant 0$

...evident avem egalitate când $a = b = c$
(deoarece fiecare din cele 3 paranteze trebuie să fie nule)

Identitatea lui Lagrange

$(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2 + (ay-bx)^2$

Identitatea se demonstrează imediat prin desfacerea parantezelor.

Problemă
Dacă $n$ este suma a două pătrate atunci și $13n$ este suma a două pătrate.

Rezolvare

Avem că $13 = 3^2+2^2$
Considerăm că $n = x^2+y^2$

$13n = (3^2+2^2)(x^2+y^2) = (3x+2y)^2 + (3y-2x)^2$