Știați că...

Gauss și-a dat seama încă din anul 1800 (la vârsta de 23 de ani) că «Postulatul lui Euclid» (axioma paralelelor) nu poate fi demonstrat, ba mai mult, și-a dat seama că se pot construi geometrii distincte de cea «euclidiană» renunțând la acest postulat privitor la drepte paralele. 

Dat fiind faptul că el nu a publicat niciodată rezultatele sale ele au fost regăsite independent de Lobacevski (1826) și de Bolyai (1832). Geometria creată de ei (în mod independent) se numește geometrie hiperbolică.

În spaţiul tridimensional există trei tipuri de geometrii de curburi constante. La toate sunt valabile primele patru axiome ale lui Euclid, dar la fiecare din acestea, axioma paralelelor se formulează diferit.

Astfel, «geometria plată cotidiană» este o geometrie euclidiană (sau parabolică). 

Geometriile neeuclidiene sunt: geometria hiperbolică (geometrie Bolyai-Lobacevski-Gauss)  și geometria eliptică (geometrie riemanniană - a lui Bernhard Riemann). 

Inegalitate importantă

O INEGALITATE extrem de utilă: dacă $x>0$ atunci $x + \dfrac{1}{x} \geqslant 2 ~~~$ cu egalitate dacă și numai dacă $x=1$

(Dacă $x<0$ vom avea $x + \dfrac{1}{x} \leqslant -2 ~~~$ cu egalitate dacă și numai dacă $x=-1$)

OBSERVAȚIE. Dacă scriem sub forma $x=\dfrac{a}{b} >0$ avem scrierea: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant 2$

APLICAȚIE.
Dacă $a,b,c > 0$ astfel încât $a+b+c = 1$ atunci $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}  + \dfrac{1}{c} \geqslant 9 $

Rapoarte și Proporții

Problemă. (Nivel: clasa 6)
Unghiurile unui triunghi sunt direct proporționale cu 3 numere întregi consecutive. Atunci triunghiul are un unghi de 60 de grade.

Rezolvare : Notăm cu $A, B, C$ valorile numerice ale unghiurilor.
Din ipoteză există un $n$ întreg așa încât:

$\dfrac{A}{n} = \dfrac{B}{n+1} = \dfrac{C}{n+2}$

Folosind proprietățile rapoartelor derivate, egalitatea multiplă de mai sus o putem continua cu:

$\dfrac{A+B+C}{n+(n+1)+(n+2)}$ ...care este egală cu $\dfrac{180}{3(n+1)} = \dfrac{60}{n+1}$

Deci avem $\dfrac{B}{n+1} = \dfrac{60}{n+1}$ adică $B = 60$. QED

Identitatea lui Lagrange

$(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2 + (ay-bx)^2$

Identitatea se demonstrează imediat prin desfacerea parantezelor.

Problemă
Dacă $n$ este suma a două pătrate atunci și $13n$ este suma a două pătrate.

Rezolvare

Avem că $13 = 3^2+2^2$
Considerăm că $n = x^2+y^2$

$13n = (3^2+2^2)(x^2+y^2) = (3x+2y)^2 + (3y-2x)^2$