Noțiuni despre divizibilitate

Despre divizibilitatea în N se discută cel mai mult, evident... Câteva cuvinte despre EXTINDEREA divizibilităţii de la N la Z, noţiuni legate de c.m.m.d.c.

Notăm c.m.m.d.c. (a,b) cu (a,b) şi  c.m.m.m.c. (a,b) cu [a,b]

A lucra pe exemple este uneori mai relevant şi uşor de înţeles.
Dacă (6,9) = 3 atunci cine este de exemplu (-6,9) sau (-6,-9) ?...

În cazul divizibilităţii în Z (deci şi cu negative) avem de fapt doi de c.m.m.d.c. Adică putem scrie (-6,9) = 3 dar şi (-6,9) = -3 .
Deci atât 3 cât şi -3 sunt c.m.m.d.c. ai lui -6 şi 9.

Dar cum cel pozitiv este evident mai mare decât negativ se poate scrie (-6,9) = 3, însă asta se face doar pentru simplitate.
(Evit intrarea în amănunte de Algebră superioară, ce se studiază în facultate)


Observaţie : Prin DEFINIŢIE se ia (0,0) = 0

Comentează postarea pe Facebook

Inegalitate importantă

O INEGALITATE extrem de utilă: dacă $x>0$ atunci $x + \dfrac{1}{x} \geqslant 2 ~~~$ cu egalitate dacă și numai dacă $x=1$

(Dacă $x<0$ vom avea $x + \dfrac{1}{x} \leqslant -2 ~~~$ cu egalitate dacă și numai dacă $x=-1$)

OBSERVAȚIE. Dacă scriem sub forma $x=\dfrac{a}{b} >0$ avem scrierea: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant 2$

APLICAȚIE.
Dacă $a,b,c > 0$ astfel încât $a+b+c = 1$ atunci $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}  + \dfrac{1}{c} \geqslant 9 $

Identitatea lui Lagrange

$(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2 + (ay-bx)^2$

Identitatea se demonstrează imediat prin desfacerea parantezelor.

Problemă
Dacă $n$ este suma a două pătrate atunci și $13n$ este suma a două pătrate.

Rezolvare

Avem că $13 = 3^2+2^2$
Considerăm că $n = x^2+y^2$

$13n = (3^2+2^2)(x^2+y^2) = (3x+2y)^2 + (3y-2x)^2$

Hello world !

MateInfo.Net - Portal, Forum şi Blog de Matematică şi Informatică.

$\displaystyle \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \binom{n}{k}$