Problemă de Aritmetică

Aflați numerele prime de forma $\overline{abc}$ știind că:

$a \cdot \overline{bc} = c \cdot \overline{ba} + 10$

Rezolvare

$a \cdot (10b + c) = c \cdot (10b + a) + 10$

$10ab + ac = 10cb + ac + 10 ~~~$

$10b \cdot (a-c) = 10 ~~~$ (împărțim ambii membrii la $10$)

$b \cdot (a-c) = 1$ deci $b=1$ și $a-c = 1$ deci $a=c+1$

Dintre 110, 211, 312, 413, 514, 615, 716, 817, 918 doar 211 e prim.

O altă inegalitate

$a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$

$\iff a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant 0$

$\iff \dfrac12(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)\geqslant 0$

$\iff \dfrac12[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)]\geqslant 0$

$\iff \dfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geqslant 0$

$\iff (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant 0$

...evident avem egalitate când $a = b = c$
(deoarece fiecare din cele 3 paranteze trebuie să fie nule)

Inegalități între fracții

Dintre numerele $0,75$ și $\dfrac{2}{3}$ mai mare este...

$0,75 ~~~ \square ~~~ \dfrac{2}{3}$ ...transformăm în fracții ordinare.

$\dfrac{75}{100} ~~~ \square ~~~ \dfrac{2}{3}$ ... simplificăm prima fracție cu 25.

$\dfrac{3}{4} ~~~ \square ~~~ \dfrac{2}{3}$ ...aducem fracțiile la același numitor.

$\dfrac{9}{12} ~~~ \square ~~~ \dfrac{8}{12}$ ...deci primul număr este mai mare.

Rapoarte și Proporții

Problemă. (Nivel: clasa 6)
Unghiurile unui triunghi sunt direct proporționale cu 3 numere întregi consecutive. Atunci triunghiul are un unghi de 60 de grade.

Rezolvare : Notăm cu $A, B, C$ valorile numerice ale unghiurilor.
Din ipoteză există un $n$ întreg așa încât:

$\dfrac{A}{n} = \dfrac{B}{n+1} = \dfrac{C}{n+2}$

Folosind proprietățile rapoartelor derivate, egalitatea multiplă de mai sus o putem continua cu:

$\dfrac{A+B+C}{n+(n+1)+(n+2)}$ ...care este egală cu $\dfrac{180}{3(n+1)} = \dfrac{60}{n+1}$

Deci avem $\dfrac{B}{n+1} = \dfrac{60}{n+1}$ adică $B = 60$. QED

Identitatea lui Lagrange

$(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2 + (ay-bx)^2$

Identitatea se demonstrează imediat prin desfacerea parantezelor.

Problemă
Dacă $n$ este suma a două pătrate atunci și $13n$ este suma a două pătrate.

Rezolvare

Avem că $13 = 3^2+2^2$
Considerăm că $n = x^2+y^2$

$13n = (3^2+2^2)(x^2+y^2) = (3x+2y)^2 + (3y-2x)^2$