O altă inegalitate

$a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$

$\iff a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant 0$

$\iff \dfrac12(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)\geqslant 0$

$\iff \dfrac12[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)]\geqslant 0$

$\iff \dfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geqslant 0$

$\iff (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant 0$

...evident avem egalitate când $a = b = c$
(deoarece fiecare din cele 3 paranteze trebuie să fie nule)

Inegalități între fracții

Dintre numerele $0,75$ și $\dfrac{2}{3}$ mai mare este...

$0,75 ~~~ \square ~~~ \dfrac{2}{3}$ ...transformăm în fracții ordinare.

$\dfrac{75}{100} ~~~ \square ~~~ \dfrac{2}{3}$ ... simplificăm prima fracție cu 25.

$\dfrac{3}{4} ~~~ \square ~~~ \dfrac{2}{3}$ ...aducem fracțiile la același numitor.

$\dfrac{9}{12} ~~~ \square ~~~ \dfrac{8}{12}$ ...deci primul număr este mai mare.

Inegalitate importantă

O INEGALITATE extrem de utilă: dacă $x>0$ atunci $x + \dfrac{1}{x} \geqslant 2 ~~~$ cu egalitate dacă și numai dacă $x=1$

(Dacă $x<0$ vom avea $x + \dfrac{1}{x} \leqslant -2 ~~~$ cu egalitate dacă și numai dacă $x=-1$)

OBSERVAȚIE. Dacă scriem sub forma $x=\dfrac{a}{b} >0$ avem scrierea: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant 2$

APLICAȚIE.
Dacă $a,b,c > 0$ astfel încât $a+b+c = 1$ atunci $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}  + \dfrac{1}{c} \geqslant 9 $