a2+b2+c2⩾ab+bc+ca
⟺a2+b2+c2−ab−bc−ca⩾0
⟺12(2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca)⩾0
⟺12[(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(c2−2ca+a2)]⩾0
⟺12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]⩾0
⟺(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2⩾0
...evident avem egalitate când a=b=c
(deoarece fiecare din cele 3 paranteze trebuie să fie nule)
Pentru orice numere a,b,c∈R avem :
RăspundețiȘtergerea2+b2+c2⩾ab+ac+bc
Mai întâi observăm că :
a2+b2⩾2ab , care înseamnă (a−b)2⩾0 (lucru evident).
Scriind analoagele :
a2+c2⩾2ac
b2+c2⩾2bc , şi adunând membru cu membru avem :
2a2+2b2+2c2⩾2ab+2ac+2bc , simplificăm cu 2
(...după o prealabilă scoatere în factor comun a lui 2) şi avem :
a2+b2+c2⩾ab+ac+bc