Despre divizibilitatea în N se discută cel mai mult, evident... Câteva cuvinte despre EXTINDEREA divizibilităţii de la N la Z, noţiuni legate de c.m.m.d.c.
Notăm c.m.m.d.c. (a,b) cu (a,b) şi c.m.m.m.c. (a,b) cu [a,b]
A lucra pe exemple este uneori mai relevant şi uşor de înţeles.
Dacă (6,9) = 3 atunci cine este de exemplu (-6,9) sau (-6,-9) ?...
În cazul divizibilităţii în Z (deci şi cu negative) avem de fapt doi de c.m.m.d.c. Adică putem scrie (-6,9) = 3 dar şi (-6,9) = -3 .
Deci atât 3 cât şi -3 sunt c.m.m.d.c. ai lui -6 şi 9.
Dar cum cel pozitiv este evident mai mare decât negativ se poate scrie (-6,9) = 3, însă asta se face doar pentru simplitate.
(Evit intrarea în amănunte de Algebră superioară, ce se studiază în facultate)
Observaţie : Prin DEFINIŢIE se ia (0,0) = 0
Se afișează postările cu eticheta Algebra. Afișați toate postările
Se afișează postările cu eticheta Algebra. Afișați toate postările
duminică, 30 iulie 2017
Problemă de Aritmetică
Aflați numerele prime de forma $\overline{abc}$ știind că:
$a \cdot \overline{bc} = c \cdot \overline{ba} + 10$
Rezolvare
$a \cdot (10b + c) = c \cdot (10b + a) + 10$
$10ab + ac = 10cb + ac + 10 ~~~$
$10b \cdot (a-c) = 10 ~~~$ (împărțim ambii membrii la $10$)
$b \cdot (a-c) = 1$ deci $b=1$ și $a-c = 1$ deci $a=c+1$
Dintre 110, 211, 312, 413, 514, 615, 716, 817, 918 doar 211 e prim.
$a \cdot \overline{bc} = c \cdot \overline{ba} + 10$
Rezolvare
$a \cdot (10b + c) = c \cdot (10b + a) + 10$
$10ab + ac = 10cb + ac + 10 ~~~$
$10b \cdot (a-c) = 10 ~~~$ (împărțim ambii membrii la $10$)
$b \cdot (a-c) = 1$ deci $b=1$ și $a-c = 1$ deci $a=c+1$
Dintre 110, 211, 312, 413, 514, 615, 716, 817, 918 doar 211 e prim.
sâmbătă, 29 iulie 2017
O altă inegalitate
$a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$
$\iff a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant 0$
$\iff \dfrac12(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)\geqslant 0$
$\iff \dfrac12[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)]\geqslant 0$
$\iff \dfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geqslant 0$
$\iff (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant 0$
...evident avem egalitate când $a = b = c$
(deoarece fiecare din cele 3 paranteze trebuie să fie nule)
$\iff a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant 0$
$\iff \dfrac12(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)\geqslant 0$
$\iff \dfrac12[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)]\geqslant 0$
$\iff \dfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geqslant 0$
$\iff (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant 0$
...evident avem egalitate când $a = b = c$
(deoarece fiecare din cele 3 paranteze trebuie să fie nule)
Inegalități între fracții
Dintre numerele $0,75$ și $\dfrac{2}{3}$ mai mare este...
$0,75 ~~~ \square ~~~ \dfrac{2}{3}$ ...transformăm în fracții ordinare.
$\dfrac{75}{100} ~~~ \square ~~~ \dfrac{2}{3}$ ... simplificăm prima fracție cu 25.
$\dfrac{3}{4} ~~~ \square ~~~ \dfrac{2}{3}$ ...aducem fracțiile la același numitor.
$\dfrac{9}{12} ~~~ \square ~~~ \dfrac{8}{12}$ ...deci primul număr este mai mare.
luni, 20 martie 2017
Inegalitate importantă
O INEGALITATE extrem de utilă: dacă $x>0$ atunci $x + \dfrac{1}{x} \geqslant 2 ~~~$ cu egalitate dacă și numai dacă $x=1$
(Dacă $x<0$ vom avea $x + \dfrac{1}{x} \leqslant -2 ~~~$ cu egalitate dacă și numai dacă $x=-1$)
OBSERVAȚIE. Dacă scriem sub forma $x=\dfrac{a}{b} >0$ avem scrierea: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant 2$
APLICAȚIE.
Dacă $a,b,c > 0$ astfel încât $a+b+c = 1$ atunci $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geqslant 9 $
(Dacă $x<0$ vom avea $x + \dfrac{1}{x} \leqslant -2 ~~~$ cu egalitate dacă și numai dacă $x=-1$)
OBSERVAȚIE. Dacă scriem sub forma $x=\dfrac{a}{b} >0$ avem scrierea: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant 2$
APLICAȚIE.
Dacă $a,b,c > 0$ astfel încât $a+b+c = 1$ atunci $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geqslant 9 $
Identitatea lui Lagrange
$(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2 + (ay-bx)^2$
Identitatea se demonstrează imediat prin desfacerea parantezelor.
Problemă
Dacă $n$ este suma a două pătrate atunci și $13n$ este suma a două pătrate.
Rezolvare
Avem că $13 = 3^2+2^2$
Considerăm că $n = x^2+y^2$
$13n = (3^2+2^2)(x^2+y^2) = (3x+2y)^2 + (3y-2x)^2$
Identitatea se demonstrează imediat prin desfacerea parantezelor.
Problemă
Dacă $n$ este suma a două pătrate atunci și $13n$ este suma a două pătrate.
Rezolvare
Avem că $13 = 3^2+2^2$
Considerăm că $n = x^2+y^2$
$13n = (3^2+2^2)(x^2+y^2) = (3x+2y)^2 + (3y-2x)^2$
Abonați-vă la:
Postări (Atom)