Teorema lui Pitagora generalizată

Dintr-un motiv sau altul se fac anumite «confuzii» privitoare la Teorema lui Pitagora generalizată. Sunt 2 aspecte:

- Se consideră că această teoremă este EXACT Teorema cosinusului

- Se dorește folosirea acestei teoreme la clasa a 7-a și a 8-a, chiar sub forma trigonometrică, fără să se țină cont de faptul că trigonometria în cadrul gimnaziului se folosește doar pentru unghiuri ascuțite (cu măsuri strict mai mari decât 0° și strict mai mici decât 90°). Acest fapt poate duce la greșeli...

OBSERVAȚIE - Puteam duce înălțimea din celălalt capăt al laturii date, din B.
Consideram aceasta ca fiind BE (cu E aflat pe dreapta AC - nu neapărat în interiorul segmentului AC) și puteam scrie:

$AB^2=AC^2+BC^2−2⋅AC⋅CE$ dacă C este ascuțit și

$AB^2=AC^2+BC^2+2⋅AC⋅CE$ când C e obtuz.

Rapoarte și Proporții

Problemă. (Nivel: clasa 6)
Unghiurile unui triunghi sunt direct proporționale cu 3 numere întregi consecutive. Atunci triunghiul are un unghi de 60 de grade.

Rezolvare : Notăm cu $A, B, C$ valorile numerice ale unghiurilor.
Din ipoteză există un $n$ întreg așa încât:

$\dfrac{A}{n} = \dfrac{B}{n+1} = \dfrac{C}{n+2}$

Folosind proprietățile rapoartelor derivate, egalitatea multiplă de mai sus o putem continua cu:

$\dfrac{A+B+C}{n+(n+1)+(n+2)}$ ...care este egală cu $\dfrac{180}{3(n+1)} = \dfrac{60}{n+1}$

Deci avem $\dfrac{B}{n+1} = \dfrac{60}{n+1}$ adică $B = 60$. QED