Noțiuni despre divizibilitate

Despre divizibilitatea în N se discută cel mai mult, evident... Câteva cuvinte despre EXTINDEREA divizibilităţii de la N la Z, noţiuni legate de c.m.m.d.c.

Notăm c.m.m.d.c. (a,b) cu (a,b) şi  c.m.m.m.c. (a,b) cu [a,b]

A lucra pe exemple este uneori mai relevant şi uşor de înţeles.
Dacă (6,9) = 3 atunci cine este de exemplu (-6,9) sau (-6,-9) ?...

În cazul divizibilităţii în Z (deci şi cu negative) avem de fapt doi de c.m.m.d.c. Adică putem scrie (-6,9) = 3 dar şi (-6,9) = -3 .
Deci atât 3 cât şi -3 sunt c.m.m.d.c. ai lui -6 şi 9.

Dar cum cel pozitiv este evident mai mare decât negativ se poate scrie (-6,9) = 3, însă asta se face doar pentru simplitate.
(Evit intrarea în amănunte de Algebră superioară, ce se studiază în facultate)


Observaţie : Prin DEFINIŢIE se ia (0,0) = 0

Comentează postarea pe Facebook

Problemă de Aritmetică

Aflați numerele prime de forma $\overline{abc}$ știind că:

$a \cdot \overline{bc} = c \cdot \overline{ba} + 10$

Rezolvare

$a \cdot (10b + c) = c \cdot (10b + a) + 10$

$10ab + ac = 10cb + ac + 10 ~~~$

$10b \cdot (a-c) = 10 ~~~$ (împărțim ambii membrii la $10$)

$b \cdot (a-c) = 1$ deci $b=1$ și $a-c = 1$ deci $a=c+1$

Dintre 110, 211, 312, 413, 514, 615, 716, 817, 918 doar 211 e prim.

Rapoarte și Proporții

Problemă. (Nivel: clasa 6)
Unghiurile unui triunghi sunt direct proporționale cu 3 numere întregi consecutive. Atunci triunghiul are un unghi de 60 de grade.

Rezolvare : Notăm cu $A, B, C$ valorile numerice ale unghiurilor.
Din ipoteză există un $n$ întreg așa încât:

$\dfrac{A}{n} = \dfrac{B}{n+1} = \dfrac{C}{n+2}$

Folosind proprietățile rapoartelor derivate, egalitatea multiplă de mai sus o putem continua cu:

$\dfrac{A+B+C}{n+(n+1)+(n+2)}$ ...care este egală cu $\dfrac{180}{3(n+1)} = \dfrac{60}{n+1}$

Deci avem $\dfrac{B}{n+1} = \dfrac{60}{n+1}$ adică $B = 60$. QED